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Lucas定理——组合数求模  

2013-04-26 16:45:59|  分类: ACM-Steps |  标签: |举报 |字号 订阅

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之前遇到一题组合数求模的题,了解到用Lucas定理求解比较高效,但是一直没整理Lucas定理。昨晚在cf中又遇到了
一道类似的题目,于是把他好好整理了下,当作模板使用。

Lucas定理:

求解C(n,m)%p, n和m是非负整数,p是质数.

结论1. Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p);

结论2. 把n写成p进制a[n]a[n-1]a[n-2]...a[0],把m写成p进制b[n]b[n-1]b[n-2]...b[0],则C(n,m)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*C(a[n-2],b[-2])*....*C(a[0],b[0])模p同余。

*注:n,m不能大于10^5,不大于情况下用逆元的方法可以解决,如果大了就不能解决。



/*
* test.cpp
*
* Created on: 2013-04-26
* Author: fudq
* 求C(n,m)%p, p为素数
* Lucas定理: Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p);
*/
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <string>
#include <vector>
#include <deque>
#include <list>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <cctype>
using namespace std;
#define LL __int64
#define N 10001000
#define M 1000000007ll
LL fac[N];

void init(LL p)
{
LL i;
fac[0] =1;
for(i =1; i <= p; i++)
fac[i] = fac[i-1]*i % p;
}

LL exp_mod(LL a, LL b, LL p)
{
LL tmp = a % p, ans =1;
while(b)
{
if(b & 1) ans = ans * tmp % p;
tmp = tmp*tmp % p;
b >>=1;
}
return ans;
}

LL C(LL n, LL m, LL p)
{
if(m > n)
return 0;
return fac[n]*exp_mod(fac[m]*fac[n-m], p-2, p) % p;//逆元
}

LL Lucas(LL n, LL m, LL p)
{
if(m ==0)
return 1;
return (C(n%p, m%p, p)*Lucas(n/p, m/p, p))%p;
}


int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("testin.txt","r",stdin);
//freopen("testout.txt","w",stdout);
#endif
int T;
LL n,m,p;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%I64d %I64d %I64d",&n,&m,&p);
init(p);
printf("%I64d\n",Lucas(n,m,p));
}
return 0;
}




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