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fudq's AC Road

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日志

 
 

hdu 2462 The Luckiest number  

2013-09-06 21:30:57|  分类: ACM-hdu |  标签: |举报 |字号 订阅

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http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2462
求最小的m满足m每一位都是8,且m能整除n(n最大20亿),输出m的位数即可,没有输出0。
题解:
刚开始做了很久,想了很多办法就不能解决,最后看了竹教的题解才明白如何解。
不过自己YY的时候,打表发现如果n%16==0或者n%5==0,结果为0;否则一定有解。

x位的m,可以表示为8*(1+10+100+...+10^x),用等比数列求和公式化简得到8*(10^x-1)/9.
问题变成 8*(10^x-1)/9 % n == 0
==>8*(10^x-1) % (9*n) == 0  //如果一个数num除以9后能整除n,那num一定可以整除9*n
==>(10^x-1) % (9*n/t) == 0, t=gcd(n, 8)  //a*b % p == 0, 能得到 b%(p/gcd(a,p)) == 0
==>10^x % (9*n/t) == 1
==>10^x % p == 1, p=(9*n/t).
看到这个式子,就能想到欧拉公式了,由式子得:如果gcd(10, p) != 1,则式子无解;否则解x可以是φ(p)。
因为题目要求最小,所以要给数φ(p)分解质因数,如果有一个因子t符合条件10^t % p == 1,则是最优解。

/*
* pro.cpp
*
* Created on: 2013-09-06
* Author: fudq
*/
#include <functional>
#include <algorithm>
#include <iostream>
//#include <fstream>
#include <sstream>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <cstring>
#include <cassert>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <bitset>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <list>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;
//#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")

#define FOR(i,a) for((i)=0;i<(a);(i)++)
#define MEM(a) (memset((a),0,sizeof(a)))
#define LL long long

const int N=150010;
const int M=20010;
const int MOD=1000000007ll;
const int INF=0x7fffffff;
const int dir[4][2]={{-1,0},{1,0},{0,-1},{0,1}};
const double eps=1e-8;
const double PI=acos(-1.0);

inline int sign(double x){return (x>eps)-(x<-eps);}
template<class T> T gcd(T a,T b){return b?gcd(b,a%b):a;}
template<class T> T lcm(T a,T b){return a/gcd(a,b)*b;}
template<class T> inline T lcm(T a,T b,T d){return a/d*b;}
template<class T> inline T Min(T a,T b){return a<b?a:b;}
template<class T> inline T Max(T a,T b){return a>b?a:b;}
template<class T> inline T Min(T a,T b,T c){return min(min(a, b),c);}
template<class T> inline T Max(T a,T b,T c){return max(max(a, b),c);}
template<class T> inline T Min(T a,T b,T c,T d){return min(min(a, b),min(c,d));}
template<class T> inline T Max(T a,T b,T c,T d){return max(max(a, b),max(c,d));}
/*************************/

bool f[N];
int tot,len_fac,len_tot;
LL resfac[N],fac[N],pfac[N],prime[N];

//素数筛选法打表
void fun()
{
int i,j,s;
memset(f,true,sizeof(f));
f[1]=false;
tot=0;
prime[tot++]=2;
for(i=4;i<=N;i+=2)
f[i]=false;
for(i=3;i*i<=N;i+=2)
{
if(!f[i])
continue;
prime[tot++]=i;
for(s=2*i,j=i*i;j<=N;j+=s)
f[j]=false;
}
for(;i<=N;i++)
if(f[i])
prime[tot++]=i;
}

LL gcd(LL a,LL b){return !b?a:gcd(b,a%b);}

//求单个值的欧拉函数值
LL Getphi(LL n)
{
LL i,te,phi;
te=(LL)sqrt(n*1.0);
for(i=2,phi=n;i<=te;i++)
{
if(n%i == 0)
{
phi=phi/i*(i-1);
while(n%i == 0)
n/=i;
}
}
if(n > 1)
phi=phi/n*(n-1);
return phi;
}

//分解质因数,记录因子到fac数组,幂到pfac数组
void Getfac(LL n)
{
int s;
len_fac=0;
for(int i=0;i<tot && prime[i]*prime[i] <= n;i++)
{
if(n%prime[i] == 0)
{
s=0;
while(n%prime[i] == 0)
{
n/=prime[i];
s++;
}
fac[len_fac]=prime[i];pfac[len_fac++]=s;
}
}
if(n > 1)
{
fac[len_fac]=n;
pfac[len_fac++]=1;
}
}

//dfs构造数n的所有因子
void dfs(int tmp,LL num)
{
if(tmp == len_fac)
{
resfac[len_tot++]=num;
return ;
}
LL tt=1;
for(int i=0;i<=pfac[tmp];i++)
{
dfs(tmp+1,num*tt);
tt=tt*fac[tmp];
}
}

//快速乘取余
LL mod_mul(LL a,LL b,LL c)
{
LL res,temp;
res=0,temp=a%c;
while(b)
{
if(b & 1)
{
res+=temp;
if (res>=c)
res-=c;
}
temp<<=1;
if(temp >= c)
temp-=c;
b>>=1;
}
return res;
}

//快速幂取余
LL mod_exp(LL a,LL b,LL c)
{
LL ans=1;
while(b)
{
if(b & 1)
ans=mod_mul(ans,a,c);
a=mod_mul(a,a,c);
b/=2;
}
return ans;
}

void solve(LL n)
{
LL p,phi;
p=gcd(n,8);
p=n*9/p;
phi=Getphi(p);
Getfac(phi);
len_tot=0;
dfs(0,1);
sort(resfac,resfac+len_tot);
for(int i=0;i<len_tot;i++)
{
if(mod_exp(10,resfac[i],p) == 1)
{
printf("%I64d\n",resfac[i]);
return ;
}
}
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("testin.txt","r",stdin);
//freopen("testout.txt","w",stdout);
#endif
fun();
LL n;
int cas=1;
while(scanf("%I64d",&n)!=EOF && n)
{
printf("Case %d: ",cas++);
if(n == 1)
printf("1\n");
else if(n%16 == 0 || n%5 == 0)
printf("0\n");
else
solve(n);
}
return 0;
}



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