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poj 2429 GCD & LCM Inverse  

2015-10-29 13:37:44|  分类: ACM-poj |  标签: |举报 |字号 订阅

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http://poj.org/problem?id=2429
题意:
已知a和b的gcd和lcm(数据在2^63内),求a和b,如果有多个解,则取min(a+b)。
题解:
n=lcm/gcd,将n拆成两个互质因子p和q相乘,选取p+q最小的组合,则a=p*gcd,b=q*gcd。
考虑到数据很大,第一步用Miller_Rabin+pollard_rho算法求出n的所有素因子;
第二步,因为p和q互质,所以可以将相同的素因子合并相乘;
第三步,dfs枚举较小的因子p,p越接近sqrt(n),p+q的结果越小。
最后得到p,q=n/p,分别乘上gcd后得到a和b。
*注意:如果a和b相等,则要特判,否则质因数分解n=1会RE。

const int S=20;//随机算法判定次数,S越大,判错概率越小

//计算 (a*b)%c. a,b都是LL的数,直接相乘可能溢出的
// a,b,c <2^63
LL mult_mod(LL a,LL b,LL c)
{
a%=c;
b%=c;
LL ret=0;
while(b)
{
if(b&1){ret+=a;ret%=c;}
a<<=1;
if(a>=c)a%=c;
b>>=1;
}
return ret;
}

//计算 x^n %c
LL pow_mod(LL x,LL n,LL mod)//x^n%c
{
if(n==1)return x%mod;
x%=mod;
LL tmp=x;
LL ret=1;
while(n)
{
if(n&1) ret=mult_mod(ret,tmp,mod);
tmp=mult_mod(tmp,tmp,mod);
n>>=1;
}
return ret;
}

//以a为基,n-1=x*2^t a^(n-1)=1(mod n) 验证n是不是合数
//一定是合数返回true,不一定返回false
bool check(LL a,LL n,LL x,LL t)
{
LL ret=pow_mod(a,x,n);
LL last=ret;
for(int i=1;i<=t;i++)
{
ret=mult_mod(ret,ret,n);
if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true;//合数
last=ret;
}
if(ret!=1) return true;
return false;
}

// Miller_Rabin()算法素数判定
//是素数返回true.(可能是伪素数,但概率极小)
//合数返回false;

bool Miller_Rabin(LL n)
{
if(n<2)return false;
if(n==2)return true;
if((n&1)==0) return false;//偶数
LL x=n-1;
LL t=0;
while((x&1)==0){x>>=1;t++;}
for(int i=0;i<S;i++)
{
LL a=rand()%(n-1)+1;//rand()需要stdlib.h头文件
if(check(a,n,x,t))
return false;//合数
}
return true;
}


//************************************************
//pollard_rho 算法进行质因数分解
//************************************************
LL factor[N];//质因数分解结果(刚返回时是无序的)
int tol;//质因数的个数。数组下标从0开始

LL gcd(LL a,LL b)
{
if(a==0)return 1;
if(a<0) return gcd(-a,b);
while(b)
{
LL t=a%b;
a=b;
b=t;
}
return a;
}

LL Pollard_rho(LL x,LL c)
{
LL i=1,k=2;
LL x0=rand()%x;
LL y=x0;
while(1)
{
i++;
x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
LL d=gcd(y-x0,x);
if(d!=1&&d!=x) return d;
if(y==x0) return x;
if(i==k){y=x0;k+=k;}
}
}
//对n进行素因子分解
void findfac(LL n)
{
if(Miller_Rabin(n))//素数
{
factor[tol++]=n;
return;
}
LL p=n;
while(p>=n)p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);
findfac(p);
findfac(n/p);
}

LL ans,cnt,fac[N];

void dfs(LL pos,LL num,LL mx){
if(num > mx) return;
if(pos == cnt){
if(num>ans && num<=mx)
ans=num;
return;
}
dfs(pos+1,num,mx);
dfs(pos+1,num*fac[pos],mx);
}

int main(){
LL n,a,b;
while(sf264(a,b)!=EOF){
if(a == b){
pf264(a,b);
continue;
}
n=b/a;
tol=0;
findfac(n);
sort(factor,factor+tol);
//merge
cnt=0;
for(int i=0;i<tol;i++){
fac[cnt]=factor[i];
int t=1;
LL tmp=factor[i];
while(i+t < tol && tmp == factor[i+t]){
fac[cnt]*=tmp;
t++;
}
i=i+t-1;
cnt++;
}
//dfs
ans=1;
dfs(0,1,(LL)sqrt(n*1.0));
pf264(ans*a,n/ans*a);
}
return 0;
}


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